Youngscher Modul
Dieser Artikel behandelt die mathematische Methode zur Berechnung der Dehnung eines Materials unter Zugkraft und der Elastizität eines Materials.
Hookesches Gesetz
Wird ein Metall geringfügig belastet, kommt es zu einer vorübergehenden Verformung, die vermutlich durch eine elastische Verschiebung der Atome im Kristallgitter ermöglicht wird. Die Entfernung der Spannung führt zu einer allmählichen Rückkehr des Metalls in seine ursprüngliche Form und Dimensionen. Im Jahr 1678 führte der englische Wissenschaftler Robert Hooke Experimente durch, die zeigten, dass im elastischen Bereich eines Materials die Dehnung proportional zur Spannung ist. Die Verlängerung der Stange ist direkt proportional zur Zugkraft und zur Länge der Stange und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche und zum Elastizitätsmodul.
Das experimentelle Gesetz von Hooke kann durch die folgende Gleichung dargestellt werden.
Diese einfache lineare Beziehung zwischen der Kraft (Spannung) und der Verlängerung (Dehnung) wurde mit der folgenden Notation formuliert.
P = Kraft, die die Verlängerung der Stange erzeugt (lbf imperial, Newton metrisch)
= Länge der Stange (Zoll imperial, oder Millimeter, Zentimeter, oder Meter für metrisch)
A = Querschnittsfläche der Stange (Quadratzoll imperial, oder Millimeter, Zentimeter, oder Quadratmeter metrisch)
δ = Gesamte Verlängerung der Stange (Zoll imperial, oder Millimeter, Zentimeter, oder Meter für metrisch)
E = Elastizitätskonstante des Materials, genannt Elastizitätsmodul oder Youngscher Modul (lbf/in.2 imperial, oder Pascals (Pa) metrisch)
Beachten Sie, dass ein Pascal einem Newton pro Quadratmeter entspricht.
Die Größe E, das Verhältnis von Spannung zu Dehnung, ist das Elastizitätsmodul eines Materials bei Zug oder Druck und wird oft als Youngscher Modul bezeichnet.
Wir haben zuvor gelernt, dass Zugspannung, oder einfach Spannung, gleich der Last pro Flächeneinheit oder der auf die Querschnittsfläche senkrecht zur Kraft angewendeten Kraft war.
Wir haben auch gelernt, dass die Zugdehnung, oder die Verlängerung einer Stange pro Längeneinheit, durch die folgende Formel bestimmt wird:
Somit werden die Bedingungen des oben beschriebenen Experiments durch das Hookesche Gesetz für elastische Materialien angemessen ausgedrückt. Für Materialien unter Zug ist die Dehnung (ε) proportional zur angewandten Spannung (σ).
Wo
E = Youngscher Modul (lbf/in.2 imperial, Pascals metrisch)
σ = Spannung (psi imperial, N/m2 metrisch)
ε = Dehnung (jede Längeneinheit, die die Änderung der Länge im Vergleich zur ursprünglichen Länge misst, z. B. Zoll/Zoll für imperial, oder Zentimeter/Zentimeter für metrisch usw.)
Youngscher Modul (Elastizitätsmodul)
Youngscher Modul (manchmal als Elastizitätsmodul bezeichnet, was "Maß" der Elastizität bedeutet) ist eine äußerst wichtige Eigenschaft eines Materials. Es ist die numerische Bewertung des Hookeschen Gesetzes, nämlich das Verhältnis von Spannung zu Dehnung (das Maß für den Widerstand gegen elastische Verformung). Um den Youngschen Modul zu berechnen, wird die Spannung (an jedem Punkt) unterhalb der Proportionalitätsgrenze durch die entsprechende Dehnung geteilt. Es kann auch als die Steigung des geradlinigen Abschnitts der Spannungs-Dehnungs-Kurve berechnet werden (die Positionierung auf einer Spannungs-Dehnungs-Kurve wird später diskutiert).
oder
Beachten Sie, dass in SI-Einheiten E als E=N/m2/(cm/cm) ausgedrückt wird. Dehnung ist dimensionslos, sodass jede Maßeinheit verwendet werden kann, z. B. Zentimeter, Meter usw.
Wir können nun sehen, dass der Youngsche Modul leicht berechnet werden kann, vorausgesetzt, dass die Spannung und die entsprechende Einheitendehnung oder Dehnung durch einen Zugversuch wie zuvor beschrieben bestimmt wurden. Dehnung (ε) ist eine Zahl, die ein Verhältnis von zwei Längen darstellt; daher können wir schließen, dass der Youngsche Modul in denselben Einheiten wie die Spannung (σ) gemessen wird, das heißt in Pfund pro Quadratzoll imperial oder Newton pro Quadratmeter metrisch. Tabelle 1 gibt Durchschnittswerte des Moduls E für mehrere gängige Metalle und Legierungen an. Streckgrenze und Zugfestigkeit werden später ausführlicher behandelt.
TABELLE 1: Eigenschaften gängiger Strukturmaterialien
Beispiel: Wie groß ist die Verlängerung von 200 Zoll Aluminiumdraht mit einer Fläche von 0,01 Quadratzoll, wenn er ein Gewicht von 100 lb trägt?
Lösung:
Zusammenfassung
Die wichtigen Informationen in diesem Abschnitt sind unten zusammengefasst.
Zusammenfassung des Youngschen Moduls
Hookesches Gesetz besagt, dass im elastischen Bereich eines Materials die Dehnung proportional zur Spannung ist. Es wird mit der folgenden Gleichung gemessen:
Youngscher Modul (Elastizitätsmodul) ist das Verhältnis von Spannung zu Dehnung oder die Steigung des Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Es wird mit der folgenden Gleichung gemessen:
